IL MODULO è il valore del vettore secondo una certa unità di misura: dire che la velocità di una massa è 36 m/s oppure 36.000 mm/s è la stessa cosa, ma i due numeri sono diversi(b) perchè diversa è l'unità di misura.
LA DIREZIONE è la retta sulla quale il vettore giace: ad esempio il moto è orizzontale, verticale, ecc.
IL VERSO: nel definire qualcosa attraverso un nome, è buona regola non adoperare(c) il nome di ciò che si vuole definire. In questo caso purtroppo occorre adoperare la parola "verso" (con il significato di avverbio di luogo) per definire il "verso del vettore" (con il significato di sostantivo). Il verso del vettore è il luogo verso il quale il vettore è diretto: su, giù, destra, ecc.
RAPPRESENTAZIONE: i vettori si rappresentano simbolicamente in due modi: 1) scrittura algebrica del tipo X = a + i*b dove i = Ö-1 è l'unità immaginaria (radice quadrata di -1). 2) graficamente attraverso segmenti. Noi ci occuperemo di questo secondo modo.
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA: questo metodo consiste nel disegnare un segmento rettilineo che contiene i tre parametri elencati nella definizione:
IL MODULO è dato dalla lunghezza del segmento secondo una certa unità di misura e secondo una certa scala di rappresentazione, per cui, prima di giudicare il valore di un vettore disegnato, occorre identificare sia la scala che l'unità di misura.
LA DIREZIONE è non solo la retta di cui il vettore è un segmento, ma anche tutte le sue parallele(d).
IL VERSO è rappresentato per convenzione da una punta a forma di freccia: il modulo comprende anche la lunghezza della punta.
NOTA BENE: la figura che appare sullo schermo è totalmente virtuale e le sue dimensioni apparenti dipendono dalla grandezza dello schermo e dallo zoom adoperato, per cui non è possibile dire nulla sul valore della velocità misurando il segmento.
ESEMPI: sono classici esempi di grandezze vettoriali la velocità, l'accelerazione e lo spostamento; ma anche la distanza è un vettore, in alcuni casi(e); sono vettori i momenti delle forze e delle coppie, ecc.
Sono rappresentabili in modo vettoriale (ma non sono vettori) numerose grandezze, come temperature, perdite e guadagni in borsa, rilevazioni statistiche, ecc. Anche le forze sono rappresentabili in modo vettoriale, ma esse devono essere sempre accompagnate da un disegno della massa sulla quale agiscono (se manca il punto di applicazione la forza non esiste).
OPERAZIONI CON I VETTORI: con i vettori si possono eseguire tutte le operazioni matematiche. Adotteremo la seguente convenzione: i vettori saranno indicati con lettere maiuscole A, B, C, ... e i loro moduli con le analoghe lettere minuscole a, b, c, ... Ci limitiamo a:
1) somma: questa operazione è illustrata nell'apposito paragrafo.
2) differenza: per eseguire l'operazione di differenza C = A - B, occorre prima definire il vettore opposto, il quale è un vettore che ha la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto, per cui se B è verso destra, -B è verso sinistra. Allora l'operazione C = A - B diventa C = A + (- B), cioè la somma di A con l'opposto di B e di conseguenza la differenza non esiste come in algebra.
3) prodotto per un numero: sia m un numero puro(f). a) se m > 0 l'operazione m * A ha come risultato un vettore B con direzione e verso come A e modulo b = m * a, cioè m volte più grande (se m > 1; altrimenti m volte più piccolo); b) se m < 0 l'operazione m * A ha come risultato un vettore B con direzione come A, verso opposto e modulo come nell'operazione precedente.
4) prodotto scalare: è stato definito nel paragrafo riguardante il lavoro.
5) prodotto vettoriale: si scrive C = A Ù B e si legge "A vettore B". L'operazione ha come risultato un vettore C che ha direzione perpendicolare al piano individuato da A e B, verso uguale a quello di avanzamento di un cavatappi sottoposto all'azione (come se fossero forze) di A e di B, e modulo c = a * b * sena essendo a l'angolo compreso fra A e B (vedi la nota (e) in questa pagina).
(a) Il concetto di grandezza in fisica è di fondamentale importanza e non ha niente a che vedere con le dimensioni delle cose. Dire che la lunghezza è una grandezza non vuol dire che qualcosa ha una misura molto grande. La grandezza è una caratteristica (o un attributo) che accomuna più "oggetti" attraverso uno o più parametri. Una casa, un albero, una pietra, un coltello hanno in comune la grandezza "volume", oppure la grandezza "massa", oppure la grandezza "superficie", ecc. Il "valore" della grandezza può essere diverso da oggetto ad oggetto, ma tutti quelli nominati hanno un volume, una massa, ecc.
(b) La situazione è ancora più aggrovigliata se si adoperano due sistemi di unità di misura: 1 miglio marino e 1.854 metri rappresentano la stessa distanza, 1 anno-luce e 9.460.800.000.000 km (9milioni460mila800 milioni di chilometri) sono la stessa lunghezza, ...
(c) E' sciocco definire il cane dicendo che è un cane (questa figura retorica prende il nome di tautologia, che significa autodefinizione, cioè definizione attraverso se stesso).
(d) Nel caso di una automobile in movimento, il vettore velocità appartiene identicamente a tutti i suoi punti, per cui è possibile disegnarlo sia sul fanalino anteriore destro che sull'orecchio sinistro del pilota che sulla terza zampa destra della mosca che si trova nell'abitacolo ecc.
(e) Ad esempio per calcolare il momento M di una coppia di forze: la distanza D fra le forze F ha una direzione (la perpendicolare alle forze), ha un modulo (il segmento di perpendicolare fra le due forze) e ha un verso (se una delle forze,quella tratteggiata nella figura, viene spostata aldilà dell'altra, modulo e direzione della distanza rimangono uguali, ma la coppia gira nell'altro verso, e quindi la distanza ha un verso, anche se esso non viene definito in modo specifico).
ESEMPI: sono classici esempi di grandezze vettoriali la velocità, l'accelerazione e lo spostamento; ma anche la distanza è un vettore, in alcuni casi(e); sono vettori i momenti delle forze e delle coppie, ecc.
Sono rappresentabili in modo vettoriale (ma non sono vettori) numerose grandezze, come temperature, perdite e guadagni in borsa, rilevazioni statistiche, ecc. Anche le forze sono rappresentabili in modo vettoriale, ma esse devono essere sempre accompagnate da un disegno della massa sulla quale agiscono (se manca il punto di applicazione la forza non esiste).
OPERAZIONI CON I VETTORI: con i vettori si possono eseguire tutte le operazioni matematiche. Adotteremo la seguente convenzione: i vettori saranno indicati con lettere maiuscole A, B, C, ... e i loro moduli con le analoghe lettere minuscole a, b, c, ... Ci limitiamo a:
1) somma: questa operazione è illustrata nell'apposito paragrafo.
2) differenza: per eseguire l'operazione di differenza C = A - B, occorre prima definire il vettore opposto, il quale è un vettore che ha la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto, per cui se B è verso destra, -B è verso sinistra. Allora l'operazione C = A - B diventa C = A + (- B), cioè la somma di A con l'opposto di B e di conseguenza la differenza non esiste come in algebra.
3) prodotto per un numero: sia m un numero puro(f). a) se m > 0 l'operazione m * A ha come risultato un vettore B con direzione e verso come A e modulo b = m * a, cioè m volte più grande (se m > 1; altrimenti m volte più piccolo); b) se m < 0 l'operazione m * A ha come risultato un vettore B con direzione come A, verso opposto e modulo come nell'operazione precedente.
4) prodotto scalare: è stato definito nel paragrafo riguardante il lavoro.
5) prodotto vettoriale: si scrive C = A Ù B e si legge "A vettore B". L'operazione ha come risultato un vettore C che ha direzione perpendicolare al piano individuato da A e B, verso uguale a quello di avanzamento di un cavatappi sottoposto all'azione (come se fossero forze) di A e di B, e modulo c = a * b * sena essendo a l'angolo compreso fra A e B (vedi la nota (e) in questa pagina).
(a) Il concetto di grandezza in fisica è di fondamentale importanza e non ha niente a che vedere con le dimensioni delle cose. Dire che la lunghezza è una grandezza non vuol dire che qualcosa ha una misura molto grande. La grandezza è una caratteristica (o un attributo) che accomuna più "oggetti" attraverso uno o più parametri. Una casa, un albero, una pietra, un coltello hanno in comune la grandezza "volume", oppure la grandezza "massa", oppure la grandezza "superficie", ecc. Il "valore" della grandezza può essere diverso da oggetto ad oggetto, ma tutti quelli nominati hanno un volume, una massa, ecc.
(b) La situazione è ancora più aggrovigliata se si adoperano due sistemi di unità di misura: 1 miglio marino e 1.854 metri rappresentano la stessa distanza, 1 anno-luce e 9.460.800.000.000 km (9milioni460mila800 milioni di chilometri) sono la stessa lunghezza, ...
(c) E' sciocco definire il cane dicendo che è un cane (questa figura retorica prende il nome di tautologia, che significa autodefinizione, cioè definizione attraverso se stesso).
(d) Nel caso di una automobile in movimento, il vettore velocità appartiene identicamente a tutti i suoi punti, per cui è possibile disegnarlo sia sul fanalino anteriore destro che sull'orecchio sinistro del pilota che sulla terza zampa destra della mosca che si trova nell'abitacolo ecc.
(e) Ad esempio per calcolare il momento M di una coppia di forze: la distanza D fra le forze F ha una direzione (la perpendicolare alle forze), ha un modulo (il segmento di perpendicolare fra le due forze) e ha un verso (se una delle forze,quella tratteggiata nella figura, viene spostata aldilà dell'altra, modulo e direzione della distanza rimangono uguali, ma la coppia gira nell'altro verso, e quindi la distanza ha un verso, anche se esso non viene definito in modo specifico).
In questo caso il momento (e quindi il prodotto vettoriale M = F Ù D) è verso il basso. Il modulo è semplicemente m = f * d poichè a = 90° e quindi sena = 1.
(f) Numero puro è un numero senza unità di misura, come quelli che si adoperano in aritmetica e non sono da confondere con gli scalari.
(f) Numero puro è un numero senza unità di misura, come quelli che si adoperano in aritmetica e non sono da confondere con gli scalari.
e 
, posti ad una distanza d fra i loro centri (che coincidono, data la simmetria sferica, con i
kg ).
m ). Applicando la formula di Newton si ha allora :
.
.