La forza gravitazionale

Newton scoprì la legge della gravitazione universale attorno alla metà del '600. Si dice che egli
fosse rifugiato in campagna durante una epidemia di peste e che un giorno, dalla caduta di una mela,
egli intuisse l'universalità della forza di gravità.
 Formulazione matematica della forza di gravità.
Consideriamo due corpi materiali, che per semplicità considereremo sferici ed omogenei, di massa 
  e  , posti ad una distanza  d  fra i loro centri (che coincidono, data la simmetria sferica, con i
loro centri di massa o baricentri, punti in cui si può considerare concentrata tutta la massa dei corpi) :

       

La formula matematica che descrivere la forza di gravità che si instaura fra due corpi è :

       

dove  F  è la forza di gravità e  G  è la cosiddetta costante di gravitazione universale.

Come abbiamo già affermato, questa forza è direttamente proporzionale alle masse dei corpi ed 
inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra essi.

Il fatto che la forza di gravità è proporzionale alle masse, significa che, per esempio, raddoppiando una
di esse, la forza raddoppia.

Il fatto che la forza di gravità è inversamente proporzionale a quadrato della distanza, significa che se,
per esempio, la distanza raddoppia, la forza diventa un quarto.
Consideriamo un corpo di  70 kg  e chiediamoci con quale forza gravitazionale (il suo peso) esso è
attratto dalla terra.

       

Sia  m  la massa del corpo (pari a  70 kg ) e sia  M  la massa della terra (pari a circa  kg ).
Sia  R  il raggio terrestre (circa  m ). Applicando la formula di Newton si ha allora :

       

(mettiamo alla fine le unità di misura).

Eseguiamo ora i calcoli applicando le proprietà delle potenze (ed usando la notazione scientifica, che
consiste nell'utilizzare le potenze di  10  e di esprimere ogni numero in unità seguite dalla parte decimale ) :

        .

Abbiamo così calcolato la forza (in newton) con cui questo corpo di  70 kg  è attratto dalla terra utilizzando
la legge della gravitazione universale, la stessa che agisce fra stelle, pianeti, ovunque.

Come possiamo verificare l'esattezza di questo risultato ? Noi sappiamo che ogni corpo, qui sulla superficie
terrestre, cade con la stessa accelerazione che è indipendente dalla massa del corpo (consideriamo l'attrito
con l'aria trascurabile). Questa accelerazione, detta accelerazione di gravita, è denominata con  g  e vale
circa  9,81 m/s² (la si può misurare direttamente con tutta la precisione che si vuole)

Per la seconda legge della dinamica si ha :

        F = m · g

per cui otteniamo :

        .

Questo risultato è "coerente" con quello trovato in precedenza (la differenza dipende dalle approssimazioni
effettuate).