sabato 27 novembre 2010

I VETTORI

DEFINIZIONE: in fisica si chiamano vettori quelle grandezze(a) che sono note completamente solo definendone tre attributi. Gli attributi sono solitamente chiamati MODULO - DIREZIONE - VERSO.
IL MODULO è il valore del vettore secondo una certa unità di misura: dire che la velocità di una massa è 36 m/s oppure 36.000 mm/s è la stessa cosa, ma i due numeri sono diversi(b) perchè diversa è l'unità di misura.
LA DIREZIONE è la retta sulla quale il vettore giace: ad esempio il moto è orizzontale, verticale, ecc.
IL VERSO: nel definire qualcosa attraverso un nome, è buona regola non adoperare(c) il nome di ciò che si vuole definire. In questo caso purtroppo occorre adoperare la parola "verso" (con il significato di avverbio di luogo) per definire il "verso del vettore" (con il significato di sostantivo). Il verso del vettore è il luogo verso il quale il vettore è diretto: su, giù, destra, ecc.
RAPPRESENTAZIONE: i vettori si rappresentano simbolicamente in due modi: 1) scrittura algebrica del tipo X = a + i*b dove i = Ö-1 è l'unità immaginaria (radice quadrata di -1). 2) graficamente attraverso segmenti. Noi ci occuperemo di questo secondo modo.
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA: questo metodo consiste nel disegnare un segmento rettilineo che contiene i tre parametri elencati nella definizione:
IL MODULO è dato dalla lunghezza del segmento secondo una certa unità di misura e secondo una certa scala di rappresentazione, per cui, prima di giudicare il valore di un vettore disegnato, occorre identificare sia la scala che l'unità di misura.
LA DIREZIONE è non solo la retta di cui il vettore è un segmento, ma anche tutte le sue parallele(d).
IL VERSO è rappresentato per convenzione da una punta a forma di freccia: il modulo comprende anche la lunghezza della punta.

NOTA BENE: la figura che appare sullo schermo è totalmente virtuale e le sue dimensioni apparenti dipendono dalla grandezza dello schermo e dallo zoom adoperato, per cui non è possibile dire nulla sul valore della velocità misurando il segmento.
ESEMPI: sono classici esempi di grandezze vettoriali la velocità, l'accelerazione e lo spostamento; ma anche la distanza è un vettore, in alcuni casi(e); sono vettori i momenti delle forze e delle coppie, ecc.
Sono rappresentabili in modo vettoriale (ma non sono vettori) numerose grandezze, come temperature, perdite e guadagni in borsa, rilevazioni statistiche, ecc. Anche le forze sono rappresentabili in modo vettoriale, ma esse devono essere sempre accompagnate da un disegno della massa sulla quale agiscono (se manca il punto di applicazione la forza non esiste).
OPERAZIONI CON I VETTORI: con i vettori si possono eseguire tutte le operazioni matematiche. Adotteremo la seguente convenzione: i vettori saranno indicati con lettere maiuscole A, B, C, ... e i loro moduli con le analoghe lettere minuscole a, b, c, ... Ci limitiamo a:
1) somma: questa operazione è illustrata nell'apposito paragrafo.
2) differenza: per eseguire l'operazione di differenza C = A - B, occorre prima definire il vettore opposto, il quale è un vettore che ha la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto, per cui se B è verso destra, -B è verso sinistra. Allora l'operazione C = A - B diventa C = A + (- B), cioè la somma di A con l'opposto di B e di conseguenza la differenza non esiste come in algebra.
3) prodotto per un numero: sia m un numero puro(f). a) se m > 0 l'operazione m * A ha come risultato un vettore B con direzione e verso come A e modulo b = m * a, cioè m volte più grande (se m > 1; altrimenti m volte più piccolo); b) se m < 0 l'operazione m * A ha come risultato un vettore B con direzione come A, verso opposto e modulo come nell'operazione precedente.
4) prodotto scalare: è stato definito nel paragrafo riguardante il lavoro.
5) prodotto vettoriale: si scrive C = A Ù B e si legge "A vettore B". L'operazione ha come risultato un vettore C che ha direzione perpendicolare al piano individuato da A e B, verso uguale a quello di avanzamento di un cavatappi sottoposto all'azione (come se fossero forze) di A e di B, e modulo c = a * b * sena essendo a l'angolo compreso fra A e B (vedi la nota (e) in questa pagina).

(a) Il concetto di grandezza in fisica è di fondamentale importanza e non ha niente a che vedere con le dimensioni delle cose. Dire che la lunghezza è una grandezza non vuol dire che qualcosa ha una misura molto grande. La grandezza è una caratteristica (o un attributo) che accomuna più "oggetti" attraverso uno o più parametri. Una casa, un albero, una pietra, un coltello hanno in comune la grandezza "volume", oppure la grandezza "massa", oppure la grandezza "superficie", ecc. Il "valore" della grandezza può essere diverso da oggetto ad oggetto, ma tutti quelli nominati hanno un volume, una massa, ecc.
(b) La situazione è ancora più aggrovigliata se si adoperano due sistemi di unità di misura: 1 miglio marino e 1.854 metri rappresentano la stessa distanza, 1 anno-luce e 9.460.800.000.000 km (9milioni460mila800 milioni di chilometri) sono la stessa lunghezza, ...
(c) E' sciocco definire il cane dicendo che è un cane (questa figura retorica prende il nome di tautologia, che significa autodefinizione, cioè definizione attraverso se stesso).
(d) Nel caso di una automobile in movimento, il vettore velocità appartiene identicamente a tutti i suoi punti, per cui è possibile disegnarlo sia sul fanalino anteriore destro che sull'orecchio sinistro del pilota che sulla terza zampa destra della mosca che si trova nell'abitacolo ecc.
(e) Ad esempio per calcolare il momento M di una coppia di forze: la distanza D fra le forze F ha una direzione (la perpendicolare alle forze), ha un modulo (il segmento di perpendicolare fra le due forze) e ha un verso (se una delle forze,quella tratteggiata nella figura, viene spostata aldilà dell'altra, modulo e direzione della distanza rimangono uguali, ma la coppia gira nell'altro verso, e quindi la distanza ha un verso, anche se esso non viene definito in modo specifico).

In questo caso il momento (e quindi il prodotto vettoriale M = F Ù D) è verso il basso. Il modulo è semplicemente m = f * d poichè a = 90° e quindi sena = 1.
(f) Numero puro è un numero senza unità di misura, come quelli che si adoperano in aritmetica e non sono da confondere con gli scalari.

domenica 14 novembre 2010

CIFRE SIGNIFICATIVE E ARROTONDAMENTO: Regole per la determinazione il numero delle cifre significative

Conteggio delle cifre significative

Tutti i valori non nulli rappresentano cifre significative.
gli zeri compresi tra digit non nulli sono cifre significative.
esempio: gli zeri in verde (tutti) sono significativi 4506002
gli zeri che precedono la prima cifra significativa (digit non nullo) non sono cifre significative.
esempio: in 0.0012, gli zeri (in rosso) non sono cifre significative (il numero in questione ha due sole cifre significative)
Gli zeri finali sono significativi solo se presente la virgola (o punto decimale in inglese).
esempio: in 13900 gli zeri in rosso non sono significativi, ma in 13900.0 tutti gli zeri (in verde) sono significativi

Regole per addizioni e sottrazioni

Il numero risultante ha lo stesso numero di cifre decimali del numero a minor numero di cifre decimali.
esempio:

5.36  
+ 99.124 
---------
 104.48 (2 cifre decimali)

Regole per moltiplicazione e divisione

Il numero risultante (prodotto) ha lo stesso numero di cifre significative del fattore con il minor numero di citre significative.
esempio:

15.322 
x 3.12 
---------
 47.8 (3 cifre significative

Regole per l'arrotondamento

Per semplicità, nei calcoli intermedi mantenere tutti le cifre e arrotondare i valori finali al numero richiesto (corretto) di cifre significative.
L'arrotondamento va effettuato, di norma, prendendo in considerazione solamente la prima cifra oltre l'ultima significativa (chiamiamola "extra").
- se tale cifra è minore o uguale a 4, il valore dell'ultima cifra significativa rimane inalterato.
- se è maggiore di 5, il valore dell'ultima cifra significativa deve essere incrementato di una unità.
- se è 5 seguito da un numero maggiore di zero si opera come il caso precedente. Se il cinque è seguito da un certo numero di zeri, caso estremamente particolare, il valore precedente viene arrotondato al numero pari più vicino.
- se è 5 seguito solo da un certo numero di zeri senza altre cifre, caso estremamente particolare, il valore precedente viene arrotondato al numero pari più vicino.
Esempi:
(In verde le cifre significative, in blu la cifre "extra", in rosso le cifre da ignorare.)
Arrotondare 12.5364 a 3 cifre significative
12.5364Il risultato dell'arrotondamento: 12.5
Arrotondare 12.5776 a 3 cifre significative
12.5776Il risultato dell'arrotondamento: 12.6
Arrotondare 1.5556 a 3 cifre significative
1.5552Il risultato dell'arrotondamento:1.56

La forza gravitazionale

Newton scoprì la legge della gravitazione universale attorno alla metà del '600. Si dice che egli
fosse rifugiato in campagna durante una epidemia di peste e che un giorno, dalla caduta di una mela,
egli intuisse l'universalità della forza di gravità.
Formulazione matematica della forza di gravità.
Consideriamo due corpi materiali, che per semplicità considereremo sferici ed omogenei, di massa

, posti ad una distanza d fra i loro centri (che coincidono, data la simmetria sferica, con i
loro centri di massa o baricentri, punti in cui si può considerare concentrata tutta la massa dei corpi) :

La formula matematica che descrivere la forza di gravità che si instaura fra due corpi è :

dove F è la forza di gravità e G è la cosiddetta costante di gravitazione universale.

Come abbiamo già affermato, questa forza è direttamente proporzionale alle masse dei corpi ed
inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra essi.

Il fatto che la forza di gravità è proporzionale alle masse, significa che, per esempio, raddoppiando una
di esse, la forza raddoppia.

Il fatto che la forza di gravità è inversamente proporzionale a quadrato della distanza, significa che se,
per esempio, la distanza raddoppia, la forza diventa un quarto.
Consideriamo un corpo di 70 kg e chiediamoci con quale forza gravitazionale (il suo peso) esso è
attratto dalla terra.

Sia m la massa del corpo (pari a 70 kg ) e sia M la massa della terra (pari a circa

kg ).
Sia R il raggio terrestre (circa

m ). Applicando la formula di Newton si ha allora :

(mettiamo alla fine le unità di misura).

Eseguiamo ora i calcoli applicando le proprietà delle potenze (ed usando la notazione scientifica, che
consiste nell'utilizzare le potenze di 10 e di esprimere ogni numero in unità seguite dalla parte decimale ) :

.

Abbiamo così calcolato la forza (in newton) con cui questo corpo di 70 kg è attratto dalla terra utilizzando
la legge della gravitazione universale, la stessa che agisce fra stelle, pianeti, ovunque.

Come possiamo verificare l'esattezza di questo risultato ? Noi sappiamo che ogni corpo, qui sulla superficie
terrestre, cade con la stessa accelerazione che è indipendente dalla massa del corpo (consideriamo l'attrito
con l'aria trascurabile). Questa accelerazione, detta accelerazione di gravita, è denominata con g e vale
circa 9,81 m/s² (la si può misurare direttamente con tutta la precisione che si vuole)

Per la seconda legge della dinamica si ha :

F = m · g

per cui otteniamo :

.

Questo risultato è "coerente" con quello trovato in precedenza (la differenza dipende dalle approssimazioni
effettuate).

venerdì 22 ottobre 2010

Le potenze di 10

Cos'è una potenza di dieci ?

E' un modo per esprimere brevemente numeri molto grandi o molto piccoli.

10⁶
si legge 'dieci alla sesta'
è uguale a 1 seguito da 6 zeri: 1 000 000
è uguale a 1,0 spostando la virgola a destra di 6 posti

10^-6
si legge 'dieci alla meno 6'
è uguale a 1 diviso per 10⁶, cioè 1/1 000 000
è uguale 1,0 spostando la virgola a sinistra di 6 posti, cioè 0, 000001

Spostandovi lungo le diverse potenze sul righello, potete aumentare o diminuire la scala in potenze di dieci.

Prinicipi di equivalenza

Primo principio di equivalenza: data un'equazione, aggiungendo ad entrambi i membri uno stesso numero od una stessa espressione contenente l'incognita si ottiene un'equazione equivalente, a patto che, nel caso di aggiunta di un'espressione dipendente da un'incognita, non vengano ristrette le condizioni di esistenza.

Secondo principio di equivalenza: data un'equazione, moltiplicando ambo i membri per un numero diverso da zero, o per un'espressione contenente l'incognita che non si annulli qualunque sia il valore dell'incognita stessa, e che non restringa le condizioni di esistenza, si ottiene un'equazione equivalente.

Proporzionalità diretta

Due grandezze sono direttamente proporzionali se al loro variare il rapporto rimane costante.
y/x=K
Qui K è la costante di proporzionalità. Poiché la proporzionalità diretta è rappresentata da una retta, K risulta il coefficiente angolare di tale retta, cioè la pendenza (o inclinazione) che questa assume rispetto all'asse x. Se la costante è positiva, la retta è crescente; se la costante è negativa, la retta è decrescente. Se, invece, è uguale a zero, la retta è l'asse x.
Per calcolare y -> y=K·x
Per calcolare x -> x=y/K
Il grafico che si ottiene è una retta passante per l'origine.

Proporzionalità inversa

Due grandezze sono invresamente proporzionali quando al loro variare il prodotto rimane costante.
x·y=K
in cui K è la costante di proporzionalità. Se la costante è positiva il grafico è nel I e III quadrante (i segni di x e y risultano concordi), se è negativa il grafico sarà vel II e IV quadrante (i segni di x e y risultano discordi).
Per calcolare x -> x=K/y
Per calcolare y -> y=K/x
Il grafico che si ottiene è formato da due rami di iperbole, che si avvicinao agli assi ma non li toccano.

Il grafico

Il termine grafico può avere diversi significati.
In matematica:

Grafico di una funzione in analisi matematica
Grafo in teoria dei grafi

In grafica:

Diagramma
Il mestiere di grafico (in inglese graphic designer), ossia chi si occupa di grafica o di grafica pubblicitaria.

Le percentuali

La percentuale è una delle possibili rappresentazioni numeriche del rapporto tra due quantità (a e b), in cui una (a) viene espressa in centesimi (centesime parti) dell'altra (b); operativamente si ottiene moltiplicando per 100 il quoziente (a/b) della divisione tra le due quantità:

$\frac{a}{b} \times 100 = n$

o anche:

$\frac{a}{b}= \frac{n}{100}$ che rappresenta la proporzione

a : b = n :100

La quantità "base" b, che si vuole rappresenti il 100%, deve essere posta al denominatore, mentre la quantità a, che deve essere rapportata, va posta al numeratore, e il risultato deve essere interpretato nel senso che a è uguale a n centesime parti di b:

$a = n \times \frac{b}{100}$

Non esistono, in realtà, particolari motivi per cui si debba preferibilmente esprimere un rapporto in percentuale, se non la loro maggiore comprensione della gente per via del loro uso comune, specie per i rapporti "sotto" il percento.
La percentuale viene molto utilizzata soprattutto in statistica, anche perché legata all'idea intuitiva di "quanti

a

trovo se prendo a caso 100

b

" e quindi al concetto di campione.

Equivalenza tra alcune percentuale notevoli e le rispettive frazioni
¹⁄₁	⁹⁄₁₀	⁴⁄₅	³⁄₄	⁷⁄₁₀	²⁄₃	³⁄₅	¹⁄₂	²⁄₅	¹⁄₃	³⁄₁₀	¹⁄₄	¹⁄₅	³⁄₂₀	¹⁄₈	¹⁄₁₀	¹⁄₂₀	¹⁄₅₀	¹⁄₁₀₀	¹⁄₂₀₀
100%	90%	80%	75%	70%	66,6%	60%	50%	40%	33,3%	30%	25%	20%	15%	12,5%	10%	5%	2%	1%	0,5%

Le proporzioni

In matematica, due variabili x e y si dicono proporzionali (o più esplicitamente, direttamente proporzionali) se esiste una relazione funzionale della forma

$\,y = k x\,$

caratterizzata da una costante numerica non nulla k.
Questa k è chiamata la costante di proporzionalità della relazione. Per segnalare che y e x sono proporzionali senza precisare la costante di proporzionalità si usano scritture come

$y \sim x$ oppure $y \propto x$ oppure $\,y = \mbox{cost.}\; x\,$

Due quantità x e y si dicono inversamente proporzionali se esiste una costante non nulla k tale che si può affermare

$y = {k \over x}$

I rapporti

In algebra e in fisica il Rapporto fra due grandezze corrisponde al risultato della loro divisione esatta, vale a
dire senza resto. L'espressione a:b è detta rapporto fra (oppure di) a e b e può essere scritta come a/b o $\frac a b$ .
In un rapporto a/b o $\frac a b$ i numeri a e b si chiamano termini del rapporto. Il primo termine è l’Antecedente e l’altro il Conseguente.

venerdì 15 ottobre 2010

Fattori di conversione

Per FATTORE DI CONVERSIONE si intende un rapporto unitario fra due unità di misura = 1.

2,54 cm/1 inch =1

1inch/12ft =1

12inch/1ft =1

1km/1000m =1

1ft/12inch =1

1m/100cm =1

Numeri Puri

Un numero è una entità astratta usata per descrivere una quantità. I numeri sono generalmente descritti tramite delle cifre, secondo un sistema di numerazione.
Per puro si intende un numero senza unità di misura.

lunedì 11 ottobre 2010

Multipli e Sottomultipli nel S.I

fattore di moltiplicazione	prefisso	simbolo	valore




10 ¹²	tera	T	1 000 000 000 000
10 ⁹	giga	G	1 000 000 000
10 ⁶	mega	M	1 000 000
10 ³	chilo	k	1 000
10 ²	etto	h	100
10 ¹	deca	da	10
10 ^-1	deci	d	0.1
10 ^-2	centi	c	0.01
10 ^-3	milli	m	0.001
10 ^-6	micro	µ	0.000 001
10 ^-9	nano	n	0.000 000 001
10 ^-12	pico	p	0.000 000 000 001

venerdì 24 settembre 2010

Le grandezze fondamentali

Il Sistema internazionale di unità di misura (in francese) Système international d'unités), abbreviato in SI e pronunciato esse i, è il più diffuso tra i sistemi di unità di misura.

Unità fondamentali
Ogni altra grandezza fisica (e la relativa unità di misura) è una combinazione di due o più grandezze fisiche (unità) di base, od il reciproco di una di esse. Con l'eccezione del chilogrammo, tutte le altre unità sono definibili misurando fenomeni naturali. Inoltre, è da notare che il chilogrammo è l'unica unità di misura di base contenente un prefisso: questo perché il grammo è troppo "piccolo" per la maggior parte delle applicazioni pratiche.

Grandezza fisica	Simbolo della grandezza fisica	Nome dell'unità SI	Simbolo dell'unità SI
lunghezza	l	metro	m
massa	M	kilogrammo	kg
intervallo di tempo	t	secondo	s
Intensità di corrente	I, i	ampere	A
temperatura termodinamica	T	kelvin	K
quantità di sostanza	n	mole	mol
intensità luminosa	I_v	candela	cd

mercoledì 15 settembre 2010

Benvenuti nel mio blog di... Fisica!!