La fisica di Laura: febbraio 2011

Consideriamo un punto materiale che si muove su una traiettoria rettilinea.

La velocità media v del corpo è il rapporto tra l’intervallo tra due posizioni,

, assunte dal punto materiale in moto e l’intervallo tra i corrispondenti istanti di tempo

Se il moto non è rettilineo, è necessario esprimere l’intervallo tra le due posizioni non più come grandezza scalare, ma come grandezza vettoriale

: in questo caso anche la velocità media ha carattere vettoriale:

Dal punto di vista dimensionale, la velocità, essendo definita come il rapporto tra uno spostamento e un intervallo di tempo, è ricavabile da:

Essa, nel S.I., si misura in m/s.

Nel linguaggio comune, però, in genere si utilizza come unità di misura il km/h. Può essere interessante determinare il fattore di conversione tra le due unità di misura.

Per farlo, basta osservare che 1 km = 1000 m e che 1 h = 3600 s.

Allora

Analogamente:

Costruiamo ora un grafico in cui riportiamo sull’asse delle x, cioè in ascissa, la variabile indipendente del moto, cioè il tempo, mentre sull’asse delle ordinate lo spazio percorso.

I grafici ottenuti sono particolarmente utili nello studio dei moti perché forniscono una visualizzazione immediata della situazione.

Il grafico nell’esempio ci informa che inizialmente l’oggetto si trova nel punto preso come origine del moto e dopo 3 secondi si trova a 6 metri di distanza.

Un’altra informazione importante ci viene dalla pendenza del grafico definita come il rapporto tra

, dove

è l’incremento subito dalla variabile y in seguito all’incremento

della variabile indipendente x:

pendenza =

In un grafico s-t è importante leggere la pendenza del grafico relativo al moto perché esso indica la velocità media del corpo nell’intervallo temporale considerato.

ESEMPI
1) Confrontiamo i due grafici relativi al movimento di 2 corpi:

Nel caso a il corpo percorre 2 metri in 3 secondi mentre nel caso b il corpo percorre 2 metri in 6 secondi.

Calcoliamo le due velocità medie e confrontiamo le due diverse pendenze delle rette.

Nel caso a si avrà

Nel caso b invece:

Notiamo che la velocità del corpo a è maggiore di quella del corpo b e la retta ha una pendenza maggiore.

2) Un punto mobile percorre la distanza AB di 30 km in 30 minuti e la distanza BC di 15 km in 20 minuti. Calcolare la velocità media nei tratti AB, BC e AC e giustificare perché la velocità media nel tratto AC non è uguale alla media delle velocità medie nei tratti AB e BC.
Dapprima trasformiamo le grandezze in modo da utilizzare il S.I.

30km=30000m

15km=15000m

30minuti=1800s

20minuti=1200s

Calcoliamo ora le velocità medie:

in AB v=30000m/1800s= 16,7 m/s

in BC v=15000m/1200s= 12,5 m/s

in AC v=45000m/3000s= 15 m/s

In fisica, la velocità è definita come la derivata della posizione nel tempo, ovvero il tasso di cambiamento dello spazio in funzione del tempo. Quando non specificato per velocità si intende la velocità istantanea. La velocità è sempre uno spazio diviso un tempo, quindi nel SI si misura in metri al secondo. La variazione della velocità è l'accelerazione o decelerazione se diminuisce.
Nel linguaggio comune velocità può avere significati più generali, come la rapidità di fare qualcosa nel tempo.

FORMULE:

Spazio percorso = S, che di solito si misura in metri $\displaystyle\blue{m}$
tempo impiegato =t, che si misura in secondi $\displaystyle\blue{s}$
velocità uniforme =v, che si misura in metri al secondo $\displaystyle\blue\frac{{m}}{{s}}$ .
Se lo spazio è misurato in chilometri $\displaystyle\blue{k}{m}$ e il tempo in ore $\displaystyle\blue{h}$ la velocità risulta in chilometri all'ora $\displaystyle\blue\frac{{{k}{m}}}{{h}}$

$\displaystyle\blue{S}={v}\cdot{t}$ e poi con le formule inverse $\displaystyle\blue{v}=\frac{{S}}{{t}}$ e $\displaystyle\blue{t}=\frac{{S}}{{v}}$

VELOCITà MEDIA E ISTANTANEA
In fisica, la velocità indica la rapidità di moto (modulo), la direzione e il verso di un corpo in movimento. È quindi una grandezza vettoriale che si riduce ad una grandezza scalare in casi particolari come ad esempio nel moto rettilineo uniforme in cui si danno per scontati direzione e verso della velocità e quindi diventa significativo solo il modulo. Tale valore si misura in metri al secondo, in base al Sistema Internazionale.
Generalmente si fa distinzione tra:

velocità media: rapporto tra lo spostamento e la durata dell'intervallo di tempo impiegato a percorrerlo:

$\vec {v} = \frac {\vec {s_2}-\vec {s_1}}{t_2-t_1} = \frac {\Delta \vec {s}}{\Delta t}$

dove $\Delta\vec {s}=\vec {s_2}-\vec{s_1}$ è lo spostamento, $\vec {s_2}$ e $\vec {s_1}$ sono i vettori posizione e

Δ t = t 2 - t 1

è l'intervallo di tempo impiegato ad effettuare lo spostamento;

velocità istantanea: limite della velocità media per intervalli di tempo molto brevi ovvero derivata della posizione rispetto al tempo:

$\vec {v} = \lim_{t\to t_0}\frac {\vec {s}(t)-\vec {s}(t_0)}{t-t_0}=\frac {\operatorname {d}\vec {s}}{\operatorname {d} t}$ .

Si noti che la velocità media è proprio la media della velocità istantanea in uno tempo finito

Δ t = t 2 - t 1

$\langle \vec v \rangle=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{d}\vec s}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = \frac{\vec s(t_2)-\vec s(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{\Delta\vec s}{\Delta t}$

avendo usato il teorema fondamentale del calcolo integrale.

VELOCITà SCALARE
La velocità scalare media è una grandezza scalare ed è definita come lo spazio totale percorso diviso il tempo impiegato:

$\langle v_s \rangle = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Si noti come questa definizione sia molto diversa dalla velocità vettoriale media, per esempio nel moto circolare, cioè il moto che avviene lungo una circonferenza, dopo un periodo T, cioè dopo aver fatto un giro, la velocità vettoriale è nulla, perché il punto di arrivo e quello di partenza coincidono ( $\Delta\vec s=0$ ), mentre la velocità scalare media è uguale a $\frac{2\pi R}{T}$ con R il raggio della circonferenza.
Conoscere lo spazio totale non è sempre semplice, nel caso di una traiettoria curva

γ

la velocità scalare è:

$\langle v_s \rangle = \frac{1}{\Delta t}\int_\gamma\,\mathrm{d}s = \frac{1}{\Delta t}\int_{t_1}^{t_2}||v(t)||\,\mathrm{d}t$

dove l'integrale non è altro che la lunghezza della curva che descrive la traiettoria.
La velocità scalare non è semplicemente la norma della velocità vettoriale media, anzi si può dimostrare che la prima è sempre maggiore o uguale della seconda.

GRAFICO SPAZIO-TEMPO VELOCITà-TEMPO
Per studiare dal punto di vista geometrico la velocità è comodo ricorrere a due tipi di grafici, quello spazio-tempo e quello velocità tempo (illustrati nell'immagine a fianco).
L'esempio mostra un grafico di uno spostamento unidimensionale e si può notare come i due grafici siano tra di loro correlati:

Si vede anzitutto che il grafico dello spostamento presenta concavità verso il basso: questo corrisponde al fatto che il grafico della velocità è decrescente.
Al tempo t₁ il grafico di x(t) ha pendenza positiva, per cui v(t₁) è maggiore di zero.
Al tempo t₂ il grafico di x(t) ha pendenza nulla, per cui v(t₂) è nulla.
Al tempo t₃ il grafico di x(t) ha pendenza negativa, per cui v(t₃) è minore di zero.

La fisica di Laura

venerdì 11 febbraio 2011

La velocità media..

lunedì 7 febbraio 2011

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