mercoledì 4 maggio 2011

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

I principi della dinamica sono la base concettuale di quella branca della fisica che studia e descrive le relazioni tra il movimento di un corpo e gli enti che lo modificano. All'interno della formalizzazione logico-matematica della meccanica newtoniana essi svolgono il ruolo di assiomi e in quanto tali sono proposti solo sulla base di osservazioni empiriche e di astrazioni concettuali successive. Tali principi vengono anche detti Principi di Newton, dal nome dello scienziato che li ha proposti nel celebre Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, pubblicato nel 1687. Gli enunciati che oggi si utilizzano sono una riformulazione attuale di quelli scritti nei Principia; il volerli attribuire in breve a Newton è improprio. Si noti inoltre che le attuali formulazioni differiscono spesso l'una dall'altra in alcuni dettagli, non del tutto inessenziali.
Ai principi di Newton si affianca, nella meccanica classica, il principio di relatività di Galileo che stabilisce l'invarianza dei principi di Newton sotto taluni cambiamenti di coordinate, dette appuntotrasformazioni galileiane. È molto importante tenere presente che i principi della dinamica sono validi in sistemi di riferimento inerziali e per sistemi i cui componenti siano a velocità lontane da quella della luce.


Primo principio detto d'inerzia o di Newton

Si parla di principio e non di legge né di assioma per ragioni di metodo scientifico, in quanto alla base della conoscenza fisica: rispettivamente nessuna teoria o legge derivata dai principi e riguardante il movimento dei corpi può falsificarlo, ma può invece farlo l'esperienza diretta, anche se le innumerevoli finora effettuate non lo hanno tuttora fatto.
Aristotele nella sua “Fisica” del IV secolo a.C. asseriva che lo stato naturale dei corpi è la quiete, ossia l'assenza di moto, e che qualsiasi oggetto in movimento tende a rallentare fino a fermarsi, a meno che non venga spinto a continuare il suo movimento. Nel Medioevo, Guglielmo di Ockham e poi, nel Quattrocento, il Cusano, nell'opera "Il gioco della palla", e Leonardo da Vinci ripensarono la dinamica aristotelica, cominciando a dimostrarne l'infondatezza. Il principio di inerzia non è infatti di banale osservazione sulla Terra, dominata dagli attriti: consideriamo per esempio una biglia (assimilabile nella nostra trattazione ad un punto materiale) che rotola su una superficie piana orizzontale molto estesa. La nostra esperienza ci dice che con il passare del tempo la biglia rallenta fino a fermarsi; questo è dovuto al fatto che interagisce con il piano e con l'aria. Si può osservare, comunque, che facendo diminuire progressivamente questi attriti (rarefacendo l'aria e lisciando il piano per diverse volte) la biglia percorre sempre più strada prima di fermarsi. L'idea che sta alla base del primo principio è che facendo diminuire gli attriti fino a renderli nulli (in teoria), il corpo non rallenti e quindi non si fermi mai, cioè persista nel suo stato di moto rettilineo uniforme.
Riferendosi invece alla tendenza di ogni corpo a mantenere lo stato quiete o di moto si usa parlare di inerzia.
Ma solo dopo quasi 2000 anni Galileo Galilei (1564-1642) capovolse l'errore di Aristotele con un esperimento ideale, immaginando il caso limite di un corpo che si muove su un piano orizzontale senza attriti. Un tale esperimento, come aveva ben compreso il grande scienziato pisano, non è riproducibile sulla Terra, ove è impossibile eliminare completamente tutti gli attriti. In realtà l'effetto degli attriti su un corpo in movimento è quello di trasformare l'energia cinetica in energia termica (calore); ciò avviene sempre nell'assoluto rispetto di un altro importantissimo principio: il principio di conservazionedell'energia. Ciò viene dettagliatamente descritto in due sue opere, rispettivamente, nel 1632 e nel 1638: il Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo e Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica e i movimenti locali Scrive Galileo nel Dialogo: “il mobile durasse a muoversi tanto quanto durasse la lunghezza di quella superficie, né erta né china; se tale spazio fusse interminato, il moto in esso sarebbe parimenti senza termine, cioè perpetuo”. Ma questo, scrive ancora Galileo: “deve intendersi in assenza di tutti gli impedimenti esterni e accidentari” … e che gli oggetti in movimento siano: “immuni da ogni resistenza esterna: il che essendo forse impossibile trovare nella materia, non si meravigli taluno, che faccia prove del genere, se rimanga deluso dall'esperienza”. La sua prima enunciazione formale è tuttavia di Isaac Newton (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), che pur ne riconosce la paternità galileiana: “Lex prima: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.”. Newton chiarisce inoltre il concetto nella definizione 3:
« La vis insita, o forza innata della materia, è il potere di resistere attraverso il quale ogni corpo, in qualunque condizione si trovi, si sforza di perseverare nel suo stato corrente, sia esso di quiete o di moto lungo una linea retta. Questa forza è proporzionale alla forza che si esercita sul corpo stesso e non differisce affatto dall'inattività della massa, ma nella nostra maniera di concepirla. Un corpo, dall'inattività della materia, è tolto non senza difficoltà dal suo stato di moto o quiete. Dato ciò questa vis insita potrebbe essere chiamata in modo più significativo vis inertiae, o forza di inattività. Ma un corpo esercita questa forza solo quando un'altra forza, impressa su di esso, cerca di cambiare la sua condizione [di moto o di quiete, NdT]; e l'esercizio di questa forza può essere considerato sia resistenza che impulso; è resistenza quando il corpo, cercando di mantenere il suo stato attuale, si oppone alla forza impressa; è impulso quando il corpo, non dando libero corso alla forza impressa da un altro cerca di cambiare lo stato di quest'ultimo. La resistenza è solitamente ascritta ai corpi in quiete e l'impulso a quelli in moto; ma moto e quiete, come vengono intesi comunemente, sono solo relativamente distinti; e d'altronde, quei corpi che comunemente sono considerati in quiete non lo sono sempre realmente. » (Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)
In sintesi:
  • Se la forza totale applicata a un punto materiale è uguale a zero , allora esso resterà inerte.
  • Se la forza totale applicata a un punto materiale in movimento è uguale a zero , allora esso continuerà a muoversi di moto rettilineo uniforme.
allora se un corpo è fermo o si muove di moto rettilineo uniforme, vuol dire che non è soggetto a forze oppure che la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla. Viceversa, se la risultante delle forze applicate a un corpo è nulla, esso è fermo o si muove di moto rettilineo uniforme. Il principio di inerzia vale nei cosiddetti sistemi di riferimento inerziali, definiti in realtà come l'ambito di validità del Principio di azione-reazione.
Infine va detto che il primo principio non è banalmente un caso particolare del secondo, ma ne chiarisce l'ambito di validità, ovvero i sistemi inerziali, in cui operano esclusivamente forze reali (azione o interazione tra due corpi). I principi, in questa formulazione non valgono nei sistemi accelerati (non inerziali) come i sistemi rotanti, perché in questi entrano in gioco forze apparenti (ad esempio la forza centrifuga).

Secondo principio detto di proporzionalità o di Newton o di conservazione
In ogni istante l'accelerazione di un corpo è determinata dalla forza non equilibrata che agisce su di esso: l'accelerazione ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza, il suo modulo è proporzionale alla forza e inversamente proporzionale alla massa del corpo. Ovvero, un punto materiale (cioè un corpo di dimensioni trascurabili rispetto al sistema di riferimento in esame e contemporaneamente dotato di massa) al quale sia applicata una forza, varia la quantità di moto in misura proporzionale alla forza, e lungo la direzione della stessa. In altre parole, secondo una formulazione analoga a quella di Eulero: il cambiamento di moto è proporzionale alla forza impressa, ed avviene lungo la linea retta secondo la quale, la forza è stata impressa.
Alternativamente, il rapporto fra i moduli della forza applicata e dell’accelerazione è costante e pari alla massa (più propriamente massa inerziale) del corpo.
\vec{F}=\frac{d \vec{p}}{dt}
A massa costante:
\vec{F} = m \vec{a} [1]
che rappresenta l'equazione fondamentale della meccanica classica.
La forza è formalmente un concetto definito indipendentemente dal secondo principio, grazie alle formule note che quantificano le interazioni dei tipi fondamentali.
Nel sistema internazionale l'unità di misura della forza è il newton, simbolo N, che equivale a chilogrammo per metro su secondo quadro; nel sistema CGS l'unità di misura è il dyne, simbolo dyn, equivalente a grammo per centimetro su secondo quadro, ovvero 1 dyn = 10−5 N.
Il secondo principio della dinamica fornisce una spiegazione per il fatto che tutti i corpi cadono con una velocità, che è indipendente dalla loro massa. Simile risultato fu raggiunto da Galileo Galilei con lo studio del piano inclinato e l'esperimento della caduta dei gravi.
Nel 1981 Mordehai Milgrom propose una sua modifica volta a spiegare il problema delle curve di rotazione delle galassie a spirale in modo alternativo all'introduzione della materia oscura, denominataMOND dall'acronimo inglese per Dinamica Newtoniana Modificata che teneva conto dello strappo, che però gode di scarso consenso presso la comunità scientifica attuale, anche se i più le riconoscono almeno il merito di essere più falsificabile delle teorie a base di materia ed energia oscura.


Terzo principio detto di azione e reazione

Newton enunciava il principio in un modo lievemente diverso da quello odierno, da cui deriva il suo nome: "Ad ogni azione (termine da lui usato nell'accezione generale di forza, mai di accelerazione)  \mathbf{F}_{A} prodotta su un corpo A corrisponde sempre in un sistema inerziale una reazione su un altro corpo B uguale e contraria \mathbf{F}_{B} ". In termini matematici:
\mathbf{F}_{A} = - \mathbf{F}_{B}
Un esempio chiaro è l'applicazione al sistema Terra-Luna TL\,\!, di cui sono sottosistemi la Terra T e la Luna L. La forza totale esercitata dalla Terra sulla Luna deve essere uguale ma di senso opposto alla forza totale esercitata dalla Luna sulla Terra: ciò viene effettivamente confermato dalla legge di gravitazione universale.
  • Ciò permette di familiarizzare col concetto di forza: essa è una informazione sul grado di interazione tra due corpi, lorda per comprenderne il moto, che viene invece influenzato direttamente (principio di proporzionalità) dall'accelerazione, che può essere intesa come una misura netta della modificazione dello stato inerziale.
  • Un esempio tipico che si può fare di applicazione controintuitiva del principio, è quello della semplice camminata: nella situazione noi imprimiamo forza al suolo all'indietro tramite il piede, il suolo reagisce con una forza uguale e contraria che poi è quella che ci spinge in avanti. Ma il suolo invece sembra non subire alcuna forza, poiché non accelera: la condraddizione si risolve considerando che la massa inerziale della Terra è enorme in confronto a quella dell'individuo, e perciò la forza si traduce in un'accelerazione piccola al punto da essere inosservabile.
Per generalizzare massimamente in meccanica classica la legge, allargandola ai sistemi non inerziali ed estesi, il concetto di azione viene oggi invece ristretto alle sole forze e torsioni(Lagrangianamente si parla di forze generalizzate) per cui vale questo principio, cioè che implicano la reazione; infine per la simmetria tra i due concetti che scaturisce da questo principio (come evidenziato negli esempi precedenti) si preferisce oggi parlare di interazione: "l'interazione tra i corpi è reciproca, e unica sorgente di reale forza e reale torsione": una forza generalizzata (Newtonianamente forze e torsioni) applicata su un corpo A è reale, se dovuta all'influenza di un altro corpo B, e solo allora si manifesta su B con orientazione antiparallela". Ricordiamo che unsistema inerziale è definito proprio in base a questo principio come sistema di riferimento in cui si manifestano solo interazioni tra i corpi, ovvero forze reali, e le forze apparenti sono appunto quelle che non provenendo dai corpi in quanto non reciproche, vengono imputate al sistema di riferimento, e non sono reali solo nel senso che non sono assolute, e non nel senso di ininfluenti sui corpi quando presenti. In termini matematici:
  • Sia S un sistema meccanico composto dai punti x\in\mathbb{R}^3 che interagiscono coll'ambiente attraverso forze e momenti.
  • Sia K un sub-sistema di S
  • Sia H un sub-sistema di K e H' il suo complementare ( \Leftrightarrow H' = K \setminus H ).
Allora vale:
\int_{H} d\vec{F}^i \ = \ -\int_{H'} d\vec{F'}^i ,
\int_{H} \vec{\xi} \times d\vec{F}^i + d\vec{M}^i \ = \ -\int_{H'} \vec{\xi} \times d\vec{F'}^i + d\vec{M'}^i
dove:
d\vec{F}^i(x) e d\vec{M}^i(x) significano in questo contesto la distribuzione di forze e di momenti interni a K\,\! che descrivono l'influenza di H'\,\! su H\,\!.
d\vec{F'}^i(x) e d\vec{M'}^i(x) sono le distribuzioni di forze e di momenti interni a K\,\! che descrivono l'influenza di H\,\! su H'\,\!.
\vec{\xi} \times d\vec{F}^i(x)  sono invece i momenti indotti.
Questo tipo di ragionamenti stanno alla base dei metodi per la rivelazione delle azioni interne ai corpi di cui si occupa la meccanica del continuo, e vengono quindi ampiamente utilizzati in statica delle strutture ad esempio per il calcolo delle deformazioni.
Va detto infine che ai fini della ricerca delle equazioni del moto viene oggi utilizzato indirettamente sotto la forma di Principio di conservazione della quantità di moto, equivalente in meccanica classica, ma dimostrato essere più generale dall'Elettromagnetismo. Perciò nella fisica moderna esso sopravvive soltanto sotto questa rienunciazione.

 
Pubblicato da alle

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